1+1+1+1+1+2=7

đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=P\)

phương pháp khảo sát hàm đặc trưng rất hữu hiệu cho những bài bất đẳng thức đối xứng

bài toán cho f(x)+f(y)-f(z) >= A

tìm min, max của S-g(x)+g(y)+g(z)

*nháp

điều kiện x,y,z thuộc D, dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=z=\(\alpha\). Khảo sát hàm đặc trưng h(t)-g(t)-mf(t) với m=\(\frac{g'\left(\alpha\right)}{f'\left(\alpha\right)}\)sau khi đã tìm được m chỉ cần xét đạo hàm h(t) nữa là xong

ta khảo sát hàm \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}-mx\)

để hàm số có cực tiểu thì f(x)=0 \(\Leftrightarrow\frac{x^4-1}{x^3\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}-m=0\)nhận thấy "=" ở x=\(\frac{1}{3}\)nên m=\(\frac{80}{-\sqrt{82}}\)

xét hàm số đại diện f(t)=\(\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}-\frac{80}{\sqrt{82}}t\)trên (0;1) có f(t)\(\ge f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{162}{3\sqrt{82}}\)

vậy thì \(P\ge-\frac{80}{\sqrt{82}}\left(x+y+z\right)+\frac{162}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\)

bài toán được chứng minh xong

cách khảo hàm mình không chắc chắn lắm nên mình làm theo 1 cách khác nữa!

đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=S\)

đặt \(\overrightarrow{x}=\left(a;\frac{1}{a}\right);\overrightarrow{y}\left(b;\frac{1}{b}\right);\overrightarrow{z}\left(c;\frac{1}{c}\right)\)

ta có \(\left|\overrightarrow{x}\right|+\left|\overrightarrow{y}\right|+\left|\overrightarrow{z}\right|\ge\left|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right|\)nên

\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

ta có \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=81\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-80\left(a+b+c\right)^2\)

\(\ge18\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-80\left(a+b+c\right)^2\ge82\)

=> S\(\ge\sqrt{82}\left(đpcm\right)\)

vừa làm trên học24 xong mà ko đưa dc link thôi nhai lại vậy :v

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\frac{3a^2}{\sqrt{7}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3b^2}{\sqrt{7}};\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3c^2}{\sqrt{7}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2P+\frac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\frac{3\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\frac{\frac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{42}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Có thiếu dấu . nào ko nhỉ :v, tự nhai lại nên vẫn thấy ngon :v

bài này 
áp dụng cô si ta có 
a³/b + ab ≥ 2a² 
b³/c + bc ≥ 2b² 
c³/a + ac ≥ 2c² 
+ + + 3 cái lại 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc 
mặt khác ta có 
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé) 
thay vào 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ a² + b² + c² ≥ 1 
=>minP = 1 
dấu bằng xảy ra <=. a = b = c = 1/√3 
( bài này sử dụng A + B ≥ 2C mà B ≤ C => A ≥ C)

k và kết bạn cho mình nha !!!

Chào các bạn mình có ý kiến như sau: Bài làm của bạn Thắng Nguyễn mik nghĩ rằng bị sơ xuất một chỗ là  thêm lượng \(\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

là không phù hợp vì nếu thay x=1/3 vào thì \(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\)không thế bằng \(\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\) do đó dấu bằng không xảy ra. Đó la ý kiến của mình, có j sai mong các bạn thông cảm

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2: 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$

$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$

$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$

$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\left(4+\dfrac{1}{4}\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)\ge\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a+c}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}\right)\) ; \(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a+b}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)

\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)

Cũng theo Bunhiacopxki:

\(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1\sqrt{c+a}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)

\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}\left(a+b+c\right)+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\) 

\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{81\left(a+b+c\right)}{32.6\left(a+b+c\right)}}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập  springtime ấy

Chào bác Thắng

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\dfrac{3a^2}{\sqrt{7}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3b^2}{\sqrt{7}};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3c^2}{\sqrt{7}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\dfrac{3\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{42}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

am-gm :a3/V(b2+3)+a3/V(b2+3)+(b2+3)/x tự tìm số x dựa theo Min của bài (dự đoán a=b=c=1/3)

hint: cộng p/s đầu với 2 p/s nữa, rút gọn dc ĐPCM

Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)

Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).

Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).

Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0

Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29